Все связные одномерные многообразия без края: окружность и прямая (интервал - отрезок без своих концов - гомеоморфен прямой). При этом окружность - замкнутое многообразие, прямая - открытое.

Одномерные многообразия с краем: отрезок, полуинтервал, луч (наверное, последние два эквивалентны). При этом отрезок - компактное, полуинтервал (и интервал) - некомпактные.

Я не очень хорошо поняла тонкое различие между компактными и замкнутыми многообразиями.
Вот например среди двумерных многообразий тор с удаленным диском - компактное незамкнутое. Я не понимаю, почему оно незамкнутое, ведь вроде бы содержит все свои предельные точки. Послала соответствующий запрос на один математический форум.

Классификация двумерных многообразий (среди которых сфера и тор) уже значительно сложнее. А классификация трехмерных вообще еще не завершена.

Это также удивительно: почему здесь нет аналогии с возрастанием размерности, а усложнение идет на порядок или даже по экспоненте. Вот, например, в линейной алгебре все n-мерные пространства рассматриваются в совокупности, у них одинаковые свойства. В топологии же, как оказалось, это далеко не так.

Круг может быть проекцией спирали на плоскость, если витки достаточно плотны. В этом случае внешней границы не будет, а центральная точка является выходом, точкой достижения.
Заметьте, что планетам свойственно как поступательное (вместе с Солнцем), так и вращательное движение. Солнце движется вокруг центра Галактики, но также движется и вместе с центром. Т.е. нам свойственно круговое движение вокруг ближайшего центра и поступательное вместе с ним (при этом поступательное в силу временных ограничений нам кажется практически прямолинейным).

Книга Дм. Письменного "Конспект лекций по высшей математике". http://www.ozon.ru/context/detail/id/2189490/
В ней достаточно полно и в то же время не справочно изложен курс высшей математики.

В книге А.Бейли "Письма об оккультной медитации" говорится о типах работы в эзотерических школах. "Первое и самое главное - это практика медитации..." .
"Во-вторых, это последовательное научное изучение микрокосма, включающее изучение следующих предметов..."

Микрокосм...
Макрокосм...
Ум...
Синтез... в. Изучение высшей математики ...
Психическое развитие...

Интересно, что изучение других естественных наук входит в разделы Микрокосм и Макрокосм, и лишь высшая математика - в раздел Синтез.

В книге Дм. Письменного высшая математика представлена в таких разделах (частях)
Линейная алгебра
Векторная алгебра
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Математический анализ
Комплексные числа
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Функции нескольких переменных
Дифференциальные уравнения
Двойные и тройные интегралы
Криволинейные и поверхностные интегралы
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье. Интеграл Фурье
Теория поля
Теория функций комплексного переменного
Операционное исчисление

Это достаточно полный курс. Затем нужно добавить такие интересные разделы , как
Высшая (общая) алгебра
Тензорное исчисление
Топология

Большое богатство.

Конечно, есть много подробных монографий, по каждому из разделов.
Хотелось найти книгу, где вся высшая математика была бы изложена в одном томе, но со всеми теоремами и доказательствами. А в этой книге есть еще и задачи с решениями почти по каждому параграфу.

Конечно, перечислены основные, фундаментальные разделы высшей математики.
Есть еще теория вероятностей, математическая статистика, численные методы и т.д. И новые разделы появляются.
******************
К фундаментальным разделам, изложенным в книге Дм. Письменного, как уже говорила, я бы добавила для обязательного изучения -
Высшая (общая) алгебра
Тензорное исчисление
Топология, а также
Уравнения математической физики
Математическая логика

Но есть еще такие во многом прикладные разделы, как Теория вероятностей, Математическая статистика, Теория графов, Численные методы, Теоретическая механика. И, наверное, другие.

hele

---

В ней достаточно полно и в то же время не справочно изложен курс высшей математики.

---

Может быть. У меня тоже интерес к математике, но обусловленный теософией, а в этом случае, необходим некий отход назад в старые времена, когда эта самая математика формировалась, но пошла в основном по линии количественных вычислений, но не как по линии показательных закономерностей и пропорций мироздания. Вот нынче перечитываю матчасть - 2-й том ТД, в комментариях к 1-й станце, цитаты из "Источник мер" - каббалистские операции с числами, 31415 к 1 и т.д. что они выражают? И пр. вопросы на тонких намеках, особенно к этим числам (и я не о том, что 3,1415... = Пи).

Добавлено 3 минут спустя:

fyyf

---

Но - увы.
Хозяин базы данных ее зажал и не пошел на сотрудничество.

---

Очень напрасно сожалеете, такой жмот не может видеть дальше собственного носа, а нагромождение сложностей, не обязательно есть мудрость (реальное знание закономерностей)

Визуализация математических последовательностей - интересная вещь.
Например, если взять последовательность z(n+1) = z(n)**2 + z(n-1) , где z1 = (z0)**2 + z0 (z - трехмерный вектор, т.е. трехмерный аналог комплексного числа) и придавать z0 различные значения, то получатся такие интересные картинки - расположения точек последовательности на плоскости v=const (v - третья компонента вектора z).
Т.е. в принципе можно задать только три числа (компоненты начального вектора) , и мы задаем целую картинку. Может быть, что-то подобное происходит при сотворении форм (Теми, кто творит).
Обратите внимание на получившийся цветок лотоса.
А это - рисунки той же последовательности, но уже для собственно комплексных чисел (2-мерные векторы)
Атомы, кристаллические решетки... если пофантазировать.
(Извините, не знаю, почему получился пропуск после рисунка).

Интересно получается. Возникает вопрос почему нашим умом нужно пространственое онаглядывание, почему нет развитая способность посмотрет некий произвольный (числовы) ряд и разпознать ритмичност, повторяемост елементов сходство, а не беспорядок. Интересен вопрос как наше сознание воспринимает вообще линейние (одномерные) протяжности. Почему некую подряденостью возникает именно когда линейност ряда естественых чисел скручится (трансформируется) в двумерное пространство. Этот момент вероятно связан с двухсторонную симметрию головного мозга, и все наше восприятие и мышление организирани двумерно. Поэтому, вероятно, в оккультной практики наложително построение высшего моста, Антахкарана, задавая таким образом третой координатной оси, и следовательно, развитие способности оперирования в трехмерном ментальном мире. Поэтому кажется и получилось вертикалное положение человеческого спина.
Когда это одномерная координата t - (время), мозг более-менее справляется, находя такие компоненты как ритм, гармонию, мелодию, т.е. так называемое музыкальное чувство. Но когда перед нами протяжност числового ряда, именно музикальное чувство помогает математику "имагинировать", вообразит это линейное развертывание. И почти всегда у математиков присуствует (изявеное или нет) хорошое музыкальное чувство.
Любопытно, что в теории индийской классической музыки в первую часть музикального произведения (алап) нет ни ритма, ни какого либо структурирования, и именно во второй части биение, задаваемое от таких инструментах как таблы, задает ритм, структуру, скелет музыкального произведения, улесняя таким образом восприятие музыкального выпольнения. Тоест, нужно некоего квантувание, раздробление на куски, посколько в первой части сознание и выпольнителя, и слушателя можно потерятся в некий иный мир.
Неслучайно, как А.А.Бейли подчеркивает, Закон Периодичности (как и Закон Подобия) является один из базовых для нашей Системы.
Конечно, для детайльного воспирятия таких мащабных протяжностей, как время, пространство, нужно чтобы человеческий мозг разстася со своими наложенными ограничениями физического бытийности, продиктованным прагматичности и интенцию выживания, восприятия мира, чтобы обозреть целостную картину.
Вообще, наш физический мозг настроен искать подобия везде - эму очень неловко оперировать с такими понятиями, как начало, конец, бесконечност, безразмерност, нуль. Даже самого понятия "число" (вне опита изброимости) вторгает эго в тупик. И только способности высшего манаса позволяет как-то вообразит построение мира вне пределов сетивности. Поэтому, кажется, возникла необходимост обособления 5-ого Луч Конкретного Знания от 3-ого Луча - Активной Интелигентности - это две очень разные способности.
Конечно, всегда на наше подсознание оказывает давление древный, исконный, архетипический страх (ужас) от Хаоса. И всегда огромная психическая енергия тратится на попытки созреть, почувствоват некий ряд, порядок, повторяемост, структура (Космос). Но, как Дейвид Бом отметил, Хаос не является ничто иное, как ряд очень высокого порядка. И развитие способности схватит логику этого ряда, возвысится на уровня этого порядка, и избавит нас от этого первичного ужаса.
Так и в случае с простых чисел - большая радост возникает, когда у на первом взгляде хаотичного распределения возникает некая подреденост, симетрия, логика - Ура! - Космос победил над Каос!

hele

---

Еще о математике.
Вчера на Московском ТО возникла тема "странных аттаркторов". Похоже, это очень интересная область математики.

---

Не знаю, о чём был доклад, но, на мой взгляд, особенно интересна эта тема "странных аттаркторов" применительно к человеку, как, впрочем, и вся наука в целом.
Интересным показалось вот это:

Quote

---

"Сложные системы живут по законам "странных аттракторов". Аттрактор - это колебательная математическая функция. Странный аттрактор - это колебательная функция с необычным поведением. Развиваясь, аттрактор выходит на какой-то устойчивый режим и начинает колебаться вокруг точки равновесия. А потом вдруг, в какой-то момент по непонятной причине резко срывается, улетает и начинает колебаться уже вокруг другой точки равновесия. Точки улета назвали точками бифуркации. Точка бифуркации - это такая точка, малое случайное воздействие в которой может выбросить систему очень далеко. Странное поведение, правда? Потому такие функции математики и назвали странными аттракторами.
Типичные сложные системы, живущие, как странный аттрактор -человеческий организм, биоценоз, социальная система... Вдруг появляется Наполеон, и страна начинает развиваться в ином направлении... Вдруг какая-то случайность, нервный срыв выводит ослабленный организм из точки равновесия, и он скатывается в другую "лунку" - человек заболевает раком... Но наполеоны и нервные срывы опасны только тогда, когда системы находятся в точке бифуркации, то есть колеблются в состоянии неустойчивого равновесия, ожидая малейшего толчка. Для систем устойчивых никакие нервные срывы и гитлеры не страшны, их не так-то просто выбить из потенциальной ямы. Вот вам и ответ на вопрос, может ли гений изменить историю? Может, если будет действовать в точке бифуркации, когда страна на перепутье."

---

А. Никонов "Апгрейд обезьяны" ч.2, гл.6

Красота какая... и все это рассчитали математики.

Юрий

---

Не знаю, о чём был доклад,

---

Доклад был о некоторых прогнозах на будущее для людей. И о взглядах на мир , его создание и судьбах, с точки зрения некоторых народов. Например, индейцев хопи. Многое можно прочитать здесь http://www.soznanie.info/st_hopi.html
И о представлении о мире Шамбалы, который, невидимый для нас, существует в некоем гиперпространственном месте. И согласно пророчествам, его предводители вступят в сражение со злом нашего мира. Не могу найти картинку этого мира Шамбалы. По-моему, она есть в музее Рерихов. Но это не картина Рериха, как он обычно пишет о Шамбале (горы). Там изображено это небесное поселение, много зданий...
Но Шамбала была показана не в Тибете, а в районе Джунгарских гор в Ср. Азии.
*****************
Похоже на это изображение Танка Шамбалы
Или, скорее, на это . Хотя это, по-моему, и есть картина Рериха (но не в его обычном стиле).

hele

---

Доклад сделал Дм. Рязанов , сайт их Института - http://www.shalagram.ru/intro.htm
Но доклад был далеко не о странных аттракторах.

---

Этот странный юноша утверждал, что преподаёт математику в Станкине, и при этом пытался убедить нас, что некий заложенный ребятами с "Шалаграма" математический алгоритм, включающий в себя уравнения этого самого "странного аттрактора", способен порождать непредсказуемый, т.е. случайный для внешнего наблюдателя результат при разных его запусках с одними и теми же начальными условиями. Встречный аргумент, что компьютер (если он исправен) является жёстко детерминированной логической машиной, действия на него не возымел. Видимо, этому его в МФТИ не научили. Так или иначе, он утверждал, что они при помощи компьютера, вооружённого этим странным алгоритмом, называемым ими "виртуальный оракул", измеряют всякого рода "энергетические параметры" пространства.

Иногда хочется посочувствовать академикам из комитета по борьбе со лженаукой.

Quote

---

Нед Ден :Скорее странное описание. Похоже, что автор притянул за уши математическое явление с интригующем названием чтобы придать дополнительный вес своим философским фантазиям.

---

хм... беглый поиск в интернете не дал каких-либо существенных отличий в описанни странных аттракторов (а также точек бифуркации) с процитированными выше (и не противоречит моим скромным познаниям в этом... но у меня нет спец. мат. образования)... я бы назвал его описание научно-популярным, что вполне укладывается, на мой взгляд, в обще-принятый формат научно-популярной статьи - не будете же Вы там приводить мат. формулы, к-е выходят за рамки программы технического ВУЗ-а (где нет специализации в математике)...

В чем именно автор неправ, на Ваш взгляд?

Спасибо.

Quote

---

Нед Ден :за исключением, разве что, того, что некоторые странные аттракторы могут существенно менять свои свойства при незначительном изменении параметров, но это лишь частный случай. В действительности распознать некоторую связь того, о чем писал автор, можно, разве что, с теорией хаоса. В частности это очень напоминает популярную концепцию с романтическим названием "эффект бабочки".

---

ну, возможно он и хотел использовать именно этот частный случай в поведении странных аттракторов... он, возможно, излишне обобщающе это изложил, но для научно-популярного уровня, по-моему, вполне приемлемо...

вобщем, я понял Ваш довод... я думаю

Quote

---

Нед Ден :А о странных аттракторах лучше почитать хотя бы небольшую брошюрку математика Давида Рюэля, который и ввел понятие странного аттрактора: "What is a Strange Attractor?"

---

спасибо, сохраню на всякий случай - може когда-нить руки дойдут изучить